The Monty Hall problem – wyjaśnienie

Teleturniej. Uczestnik ma przed sobą trzy zamknięte “szafy”. Za drzwiami jednej z nich jest kupon na samochód, w dwóch pozostałych jest przysłowiowy “zonk” czyli koza, czyli przegrana.

– Wybieraj! – mówi prowadzący.
– Grający wskazuje szafę nr 1
– Prowadzący otwiera szafę nr 3, gdzie nie ma nagrody i pyta: – Czy chcesz zmienić swój wybór?

Jak powinien odpowiedzieć grający? Zmienić decyzję, czy nie zmienić? Pokazać drzwi 1 czy 2? Czy jest coś co przemawia, że jedna z możliwości jest o wiele lepsza niż druga, czy obie są związane z takim samym prawdopodobieństwem sukcesu?

================================================================

Moje rozumienie nr1.

Na początku stoję przed trzema zasłoniętymi szafami i mam wybrać jedną z nich. Tylko w jednej jest nagroda, w dwóch pozostałych jej nie ma. Więc moje prawdopodobieństwo wygranej, niezależnie od tego, którą szafę wybiorę, wynosi 1/3.

Po odsłonięciu jednej z szaf przez gospodarza programu, mam przed sobą dwie zamknięte szafy. W jednej z nich jest nagroda, w drugiej nagrody nie ma. Niezależnie którą szafę wybiorę, prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/2. Więc nie ma najmniejszego znaczenia czy wskażę tę, co poprzednio, czy tą drugą.

Tak dokładnie to zobaczyłem, pomyślałem i zwymyślałem w internecie, na szczęście po angielsku tych, co twierdzili, że lepiej jest zmienić wybór i wybrać szafę nr 2. Wysłałem ich z powrotem do szkoły i temu podobne, a oni powtarzali, jak mantrę, że lepiej jest wybrać szafę nr 2, dołączając zupełnie mętne wyjaśnienia, które tylko upewniały mnie w tym, że ja mam rację i szansa na wygraną, zarówno za drzwiami o numerze 1 jak i 2 jest TAKA SAMA i wynosi 1/2.

Eksperyment praktyczny

Jak w kulturze zachodniej rozstrzygamy (rozstrzygaliśmy?) czy teoria jest prawdziwa czy fałszywa? Poprzez EKSPERYMENT. Warto pamiętać, że idiotyczne stwierdzenie Arystotelesa, że ciała cięższe spadają szybciej niż lżejsze było uważane za prawdziwe przez prawie 2 tys. lat, m.in. dlatego, że nikt nie zrobił prostego eksperymentu, żeby sprawdzić, czy słynny naukowiec miał rację czy nie.

Napisałem zatem prosty program w języku python. Żeby szybciej i jaskrawiej wykazać tłukom, że chrzanią bzdury twierdząc, że lepiej jest ZMIENIĆ pierwotny wybór, przyjąłem liczbę zamkniętych drzwi jako parametr. Zatem może być ich 3, ale może być ich 1000, wtedy gospodarz też zostawia do wyboru grającemu dwoje nieodsłoniętych drzwi, te drzwi, które grający wybrał początkowo i jedne z pozostałych, które pozostają zamknięte. Wszystkie pozostałe drzwi są otwarte i “puste”.

I… zagrałem. Za pierwszym razem wybrałem “Zmień pierwotny wybór” i… wygrałem! Ok. Za drugim razem… znów! Za trzecim, czwartym, piątym razem…. znów wygrywałem, gdy decydowałem się na zmianę wyboru. Szczęka opadła mi mocno na blat przed klawiaturą. Odwrotnie – brak zmiany skutkował kolejnymi, następującymi po sobie przegranymi. Co jest?!!! – pytałem sam siebie i… zacząłem myśleć, bo doświadczenie jasno wykazywało, że jeśli zmieniam wybór, to notorycznie wygrywam, a jeśli go nie zmieniam, to notorycznie przegrywam, mimo tego, że w istocie przede mną są DWIE możliwości i tylko jedna z nich jest wygrywająca. Zatem… DLACZEGO?

Moje rozumienie nr 2 czyli 1000 jajek niespodzianek.

Załóżmy, że mamy do czynienia nie z drzwiami tylko z plastikowymi, nieprzezroczystymi jajkami. Takie kapsułki, w których można coś schować. Zielone, żółte, czerwone, fioletowe, niebieskie. W sumie… 1000 w dużej skrzynce. W jednej z 1000 kapsułek, w jednym z 1000 plastikowych jajek, jest karteczka z nagrodą. Nie wiadomo, w którym.

Ty i kolega gracie o tą nagrodę. Bierzecie drugie pudełko i przesypujecie dokładnie połowę jajek, do tego drugiego pudełka. Stoją one obok siebie pudełko pierwsze z 500 jajkami i pudełko drugie też z 500 jajkami. Wygrywa ten, w którego pudełku będzie jajko z wygraną w środku. Musicie wybierać pudełka. Które pudełko wybierzesz?

Otóż… to nie ma znaczenia. Prawdopodobieństwo jest 1/2, bo nie wiemy, w którym jest owo jajko z nagrodą.

Teraz zróbmy to samo, tylko inaczej. Mamy pudełko z 1000 jajek niespodzianek i drugie puste obok. Wybieramy losowo z pierwszego pudełka jedno jajko i wkładamy do drugiego pudełka obok. Wygrywa ten,, w którego pudełku będzie jajko z nagrodą. W jednym jest to wylosowane jajko, w drugim pozostałe 999 jajek niespodzianek. Pytanie: Które pudełko wybierzesz, jeśli chcesz wygrać samochód?

Otóż wybierzesz pudełko z 999 jajkami, bo tyle właśnie będziesz miał szans na trafienie wygranej. Z 999 jajkami, bo tam prawie na pewno jest jajko nagradzające. Bo szansa, że w tym jednym jedynym, odłożonym do drugiego pudełka jest właśnie nagroda wynosi 1/1000, a cała reszta prawdopodobieństwa “jest w tym pudełku z całą resztą jajek”.

Po prostu wybierając pudełko z jednym jajkiem masz JEDNĄ szansę trafienia, bo każde jajko ma taką samą szansę, że tam jest nagroda. Wybierając pudełko z 999 pozostałymi jajkami masz 999 szans trafienia, takich samych jak w pierwszym przypadku, ale aż 999.

Teraz… wiesz, że jajko z nagrodą jest prawie na pewno w twoim pudełku z 999 jajkami niespodziankami. Prawie na 100%. Jedynie czego NIE WIESZ, to w którym! Ale zasady gry mówią, że wygrywasz, gdy nie ważne w którym konkretnie jajku z twojego pudełka jest nagroda, więc to nie ważne.

Teraz… załóżmy jednak, że musisz wybrać, w którym z twoich 999 jajek niespodzianek jest to z nagrodą. Ale jak to zrobić? Nie masz pojęcia. W każdym może być ukryta ta nagroda, choć że w którymś jest to wiesz prawie na 100% Ale musisz wybrać, w którym. Taka zmiana reguł gry. Gdybyś tylko wiedział. Ale jak masz wiedzieć? Wtedy wchodzi na scenę piękna kobieta. Podchodzi do ciebie, uśmiecha się i… usuwa z twojego pudełka 998 jajek, które pokazuje ci, że były PUSTE. Zostaje z całego twojego zbioru tylko jedno ostatnie nieotwarte! Wszystkie pozostałe, to nie były “te”. Wszystkie pozostałe “nie grały”. Nie zawierały nagrody.

Co wiesz teraz? Wiesz, że:

Jeśli wygrana znajdowała się w twojej części zbioru jajek, to znajduje się NA PEWNO w tym jednym jajku, jakie zostało w twoim pudełku, bo wszystkie inne to puste.

Zatem prawdopodobieństwo, że wygrana jest w tym jednym jajku, które ci zostało jest RÓWNE prawdopodobieństwu, że nagroda była w całym twoim zbiorze jajek. Jest więc 999 razy większe, niż prawdopodobieństwo, że jest w jajku w tym drugim pudełku.

Przełożenie na warunki teleturnieju z 3 drzwiami

Do dostrzeżenia, że sytuacja z jajkami działa na tych samych zasadach jak przytoczony na wstępie teleturniej, należy zrozumieć, że:

1. Twój pierwotny wybór DZIELI zbiór potencjalnych możliwości na dwa podzbiory:
a) podzbiór zawierający twoje drzwi
b) podzbiór zawierający wszystkie pozostałe drzwi

2. Prowadzący nie tyle odsłania JEDNE drzwi z podzbioru wszystkich drzwi oprócz wybranych przez siebie, co odsłania WSZYSTKIE drzwi oprócz jednego, z podzbioru tych oprócz wybranych przez ciebie.

Szczególnie pkt 2, jest trudny do uchwycenia i mylący. Z powodu liczby drzwi wynoszącej 3. Gdyby drzwi było 10, znacznie łatwiej byłoby nam nawet intuicyjnie uchwycić, że coś istotnego się dzieje, gdyby prowadzący otworzył pozostałych 8.

Gdy dokonujesz pierwszego wyboru, to szansa, że za twoimi “drzwiami” jest nagroda wynosi 1 / liczba_drzwi. Im więcej drzwi, jajek, możliwości, tym mniejszą masz szansę, że trafiasz swoim pierwszym wyborem w nagrodę. Prawdopodobieństwo, że w pozostałej części drzwi jest nagroda wynosi 1 – 1/liczba_drzwi, zatem dla liczby drzwi = 3, prawdopodobieństwo, że ty trafiłeś za pierwszym razem jest 1/3, zaś, że nagroda jest w pozostałej części drzwi jest 2/3. Pozostawienie z pozostałej części drzwi tylko jednych nieotwartych w połączeniu z informacją, że wszystkie pozostałe – otwarte “nie wygrywały”, sprawia, że to właśnie “za tymi ostatnim drzwiami nie otwartymi przez gospodarza jest własnie nagroda z prawdopodobieństwem całej tej części a więc 2/3.

Problem nie jest trywialny. Tłumaczyłem jak umiałem. Wiem, że i tak wiele osób nie łapie, a tłumaczenia w internecie są wg mnie niezrozumiałe lub/i mętne.

Dlaczego ta cała sprawa? Bo ona jest piękna. Bo pokazuje, że świat realny i rzeczywisty JEST odbiciem modeli intelektualnych i rzeczywiste zdarzenia, procesy zachodzą zgodnie z ich logicznymi modelami, które jeśli człowiek da radę zrozumieć, to może sobie potem dawać radę ze światem. Może przewidywać jego “zachowania”.

Dlaczego cała ta sprawa? Bo okazuje się, że świat jest…. MOŻLIWY DO ZROZUMIENIA. Oczywiście, że nie na 100%, bo im więcej się o nim dowiadujemy, tym więcej pytań stawiamy. A jednak – świat JEST LOGICZNY i można go zrozumieć. To jakiś cud.

Nie bądź obojętny, udostępnij dalej...

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *